Hola José. Yo he hecho dos tramos en primavera, en época anterior a la pandemia: Irún-Bilbao en Abril y Santander-Avilés a finales de Mayo. Por el clima cualquiera de los dos meses que indicas es óptimo aunque seguro que no te libras de algún chubasco. El tema de albergues no recuerdo fuera muy problemático aunque la oferta es más limitada que en el Camino Francés. Te aconsejaría consultar la información de Gronze y verificar la disponibilidad de albergues antes de iniciar tu camino. 

Saludos y Buen Camino.