Las dos épocas que mencionas son las mejores del año para hacer una peregrinación seria y con pocas molestias a causa de la masificación. La de primavera es quizás más exigente porque los cambios de tiempo son muy bruscos y en un mismo día puedes tener frío polar y calor asfixiante, y por supuesto la lluvia no tiene por qué faltar a la cita sobre todo en forma de chaparrones intensos. De todas formas las temperaturas rara vez serán bajo cero, al contrario que en invierno, así que necesitas equipo de frío pero no extremo. Las horas de luz ya son muchas lo que te permitirá salir muy temprano y caminar, si lo precisas, hasta bastante tarde, una ventaja más. Si decides salir en esas fechas pon atención a la Semana Santa y evita que te pille si quieres caminar tranquila, son días de afluencia masiva. En lo referente a albergues no todos estarán abiertos pero tendrás alojamiento suficiente sin necesidad de hacer demasiados ajustes.
El otoño ya es otra cosa. Normalmente no hace tanto frío y sobre todo los cambios de situación meteolológica no son tan bruscos como en primavera, aún así, como bien dices, necesitas equipo de frío y calor. De los paisajes no hay que hablar, sobre todo en los bosques de caducifolios, y los peregrinos que vas a encontrar normalmente serán de los serios. A cambio tienes el inconveniente de la menor duración de los días lo que, si no haces etapas muy largas, no es un inconveniente a considerar. En cuanto a alojamientos también van a faltar algunos pero siempre vas a tener suficientes, ten en cuenta que entre enero y febrero algunos salimos al Camino y, aunque con algunos ajustes, vamos de albergue en albergue. Por último ten en cuenta que si sales de Saint Jean en primavera probablemente tendrás que ir por Valcarlos, la nieve del Pirineo suele durar bastante y la limitación que imponen los franceses también. Hagas lo que hagas será una maravillosa aventura.
Buen Camino.

En abril no amanece tan pronto, de hecho a primeros de abril amanece a las ocho de la mañana